# 描述

假设你正在爬楼梯。需要 n  阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

注意:给定 n 是一个正整数。

示例 1:

输入: 2
输出: 2
解释: 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2:

输入: 3
输出: 3
解释: 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

题目:爬楼梯 (opens new window)

# 解法

# 递归

通过题目描述,可以推算出规律如下:

  • 1 节台阶:有 1 种方法
    • 1
  • 2 节台阶:有 2 种方法
    • 1+1
    • 2
  • 3 节台阶:有 3 种方法
    • 1+1+1
    • 1+2
    • 2+1
  • 4 节台阶:有 5 种方法
    • 1+1+1+1
    • 1+2+1
    • 1+1+2
    • 2+1+1
    • 2+2
  • 5 节台阶:有 8 种方法
    • 1+1+1+1+1
    • 1+1+1+2
    • ....

如此是可以找到规律的,出 1、2 节台阶外,之后的台阶是前两个台阶方法的总和,是一个典型的斐波那契数列。

因此可以使用递归的方式解答:

function climbStairs(n) {
  if (n === 1 || n === 2 || n === 3) {
    return n;
  }
  return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
}

但是 LeetCode 提交如上代码会不通过,因为数大的时候运行时间过长,所以需要进一步优化。

function climbStairs(n) {
  if (n === 1 || n === 2 || n === 3) {
    return n;
  }
  let memory = [0, 1, 2, 3];
  for (let i = 4; i <= n; i++) {
    memory[i] = memory[i - 1] + memory[i - 2];
  }
  return memory[n];
}

我们可以使用数组模拟递归的执行,将台阶数设为数据的索引,方法为数据,以 0-3 为基础,将 n 之前的方法全部推算出来,然后 for 出来即可,这种方法也称为记忆递归法

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(1)

# 动态规划

我们用 f(x) 表示爬到第 x 级台阶的方法数,考虑最后一步可能跨了一级台阶,也可能跨了两级台阶,所以我们可以列出如下式子:

f(x)=f(x−1)+f(x−2)

也就是说当我们求 x 级台阶的方法数的时候,其实只需要知道 x-1 和 x-2 的方法数就可以了,以此类推。

边界条件:从 0 级台阶到 0 级台阶只有一种方法。

因此,我们可以使用滚动数组实现这一次方法。

var climbStairs = function(n) {
  let p = 0, // x-2 方法数
    q = 0, // x-1 的方法数
    r = 1; // 当前 n 方法数
  for (let i = 1; i <= n; ++i) {
    p = q;
    q = r;
    r = p + q;
  }
  return r;
};

步骤示意图

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(1)

# 总结

斐波那契数列的通用公式:f(x) = f(x-1) + f(x-2)

动态规划的思想:动态规划是把一个大问题拆解成一堆小问题的思想,

遇到问题不要慌,在纸上画画,然后一步一步的观察规律,总结规律。

上次更新: 4/23/2021, 2:14:10 PM